Автори: David Sundström, Peter Carlsson, Mats Tinnsten.
Tony Martin.
Росповсюдження пауер-метрів в шосейному світі допомогло велосипедистам почати оптимально розподіляти сили; іншими словами, розробляти темпову стратегію. Ціль дослідження — визначити вплив профілю траси на оптимальну темпову стратегію в шосейному спорті. Для цього ми симулювали три профіля дороги, складених з кубічних сплайнів (сплайн — це функція, область визначення якої розбита на шматки, на кожному зі шматків функція є деяким поліномом (многочленом) — вікіпедія) для уявного велосипедиста за допомогою спеціально розробленого калькулятора. Калькулятор рахує зрівняння руху атлета і велосипеда, поки алгоритм оптимізації намагається вирахувати мінімальний час від старту до фінішу. Оптимізація обмежена явищем потужності-витривалості, яке називається критичною моделлю потужності для переривчастих навантажень. Було досліджено три профіля траси з однаковим набором висоти, але різною кількістю підйомів. Виграш часу після оптимізації склав 3%, 5% та 2,3% та відмінності в швидкості склали 6,54%, 1,18% та 0,84% для плаского рельєфу, двох та чотирьох підйомів відповідно. Таким чином, рельєф значно впливає на визначення оптимального темпу. До того ж результат показує, що потенціал поліпшення після розробки правильної стратегії є критичним для змагань на самому високому рівні.
1. Втступ
Темпова стратегія за визначенням — це варіювання швидкості на маршруті. Останнім часом, оптимізація темпових стратегій була введена, щоб дослідити, яким чином краще розподіляти вихідну потужність в шосейному спорті [1-4]. Гордон [1] використовував аналітичну оптимізацію на простому лінійному маршруті без врахування моменту інерції системи атлет-велосипед. Кенглі та інші [2] використовували більш складну модель для симуляції гонки з урахуванням теорії оптимального управління, вперше використаної для цієї справи Маронскі [4]. Проте, модель стримування вихідної потужності Кенглі не була такою ж інтуїтивною, як модель Гордона. Дамен та інші [3] використали ще більш складну стратегію стримування також з урахуванням теорії оптимального управління. Це дослідження покаже важливість правильного розподілу потужності для короткої частини маршруту під кінець гонки, коли атлет відірвався від пелотону вперед.
2. Методи
Математична модель розроблена для симуляції гоночних умов та оптимізації стратегії для атлета. Зрівняння руху були запрограмовані в MATLAB та вирішені за допомогою метода Рунге-Кутта-Фельберга [5]. Порядок дослідження, названий методом асимптот, що рухаються (MMA) [6, 7], поєднано з симуляцією, щоб мінімізувати час від старту до фінішу.
Розглянемо спортсмена світового класу з масою тіла m(b)=75 Kg. Нехай загальна маса атлета в одязі і велосипеда (який використовується в масових стартах) буде m(tot). Нехай загальний момент інерції двох коліс буде I(w). Загальна інерція системи буде m(s)=m(tot)+I(w)/r^2(w), де r(w) — радіус колеса.
Це дослідження шукає оптимальну темпову стратегію для трьох різних профілів трас: суцільне плато (СП), дві гори (ДГ), чотири гори (ЧГ). Кожний трек має довжину 2000 м, загальний набір висоти складає 40 м. Треки розбиті на 40 кубічних сплайнів на кожний. Сплайн має тільки координати x та y для спрощення моделі. Рух повітря (вітер) в моделі не враховується. Профілі показані на малюнку №2.
В попередній роботі [8] ми трансформували зрівняння руху для їзди на лижах по пересіченій місцевості таким чином, що перемінною була дистанція замість часу. Плюс цього полягає в тому, що результатом підрахунку зрівняння стає кожен раз фінішна лінія, замість точки десь далі. Таким чином, в цьому дослідженні ми беремо дещо змінену модель Мартіна [9] та в тій же манері робимо перемінною дистанцію. Всі сили, які діють на атлета та велосипед показані на малюнку №1.
Модель побудована на кінетиці частинок, що рухаються. Це означає, що розгін системи атлет-велосипед визначений рівнодійною всіх сил. Рівнодійна сил — сума рушійної сили та всіх сил, які протидіють руху вперед. Рушійна сила виражається так:
де P — вихідна потужність на вісі каретки, η(tr) — механічна ефективність трансмісії, та ν — швидкість. Розгін системи атлет-велосипед виражається наступним чином:
де s та n — це локальні координати руху (малюнок №1), опір коченню — F(RR)=C(RR)·N та тертя підшипників — F(BR)=b1+b2·v[10]. C(RR) — коефіцієнт опору коченню та N — сила нормальної реакції. Коефіцієнти b1 та b2 взяті з дослідження Дана [10]. Нахил траси — α. Залежні та незалежні змінні змінені відповідно до попереднього дослідження [8] та отримуємо в результаті наступне зрівняння:
де C(D) — коефіцієнт аеродинамічного опору, A — площина системи, A(W) — зростаючий аеродинамічний опір від спиць колеса, що крутиться, ρ — щільність повітря, R — радіус пагорба траси, та g — прискорення вільного падіння. Штрих означає диференціацію координати x. Нарешті, ми представили нову змінну, аби створити систему першого порядку звичайних диференціальних рівнянь, яку можна вирішити методом Рунге-Кутта-Фельберга.
Аби визначити кращу темпову стратегію, оптимізаційний цикл було розраховано на калькуляторі. Завдання — мінімізувати час (T) між стартом та фінішем, змінюючи задані параметри, що визначають вихідну потужність на дистанції. Змінні — розставлене з рівними проміжками 81 дискретне значення вихідної потужності та між цими проміжками вихідна потужність визначена лінійною інтерполяцією. Оптимізація обмежена мінімальним та максимальним значеннями вихідної потужності, а також критичною моделлю потужності для переривчастих навантажень [11]. Ця модель має два постійних параметри. Один (аеробний) параметр називається критичною потужністю (КП), а інший (анаеробний) — анаеробною працездатністю (АП). До них ми пропонуємо ще й третій параметр — доступна анаеробна працездатність (ДАП). ДАП оцінюється на кожній змінній та кожен час (q), коли лінійна інтерполяція змінних дорівнює КП. ДАП розраховується наступним чином:
де Δt(q) — ланка часу проміж q-1 та q, J — це кількість змінних та Q — кількість перетинів між КП та лінійною інтерполяцією змінних потужності. Доступна анаеробна працездатність, що почалась з ДАП(1)=АП на позначці t=0 після докладання максимальних зусиль, ДАП(J+Q)≈0. ДАП(q) не може перевищити АП, згідно з моделлю. Хілл та Сміт [12] визначили анаеробну працездатність для атлета чоловічої статі у 224 J·kg^(-1). Проте, маючи на увазі те, що симуляція призвана відтворити фізичний стан близько до кінця гонки, ми поділили значення АП у два рази. Оптимізацію виражаємо ось так:
де T — фінішний час, Δt(1) — час на сегменті дистанції i, K — кількість сегментів, P(min) та P(max) — нижній та верхній ліміт оптимізаційних змінних. Цих лімітів потужності вимагає метод асимптот, що рухаються та й тому ж в цьому є сенс, враховуючи межі фізіології спортсмена.
Використані дані для симулювання підібрані під атлета світового класу. Припустимо, що він може споживати 86 ml·kg^(-1)·min^(-1) кисню. При вазі спортсмена 75 кг, це дає VO2max 6,45 l·min^(-1) та максимальне значення витрати енергії близько 2270 W. Розглядаючи повну ефективність η(GE)=23,9% (при каденсі 90 обертів на хвилину) [13] та відсоток ємності використання на рівні КП 90%, маємо КП=488 W. Анаеробна працездатність дорівнює 8400 Дж, в той час як мінімальне та максимальне значення встановлено на рівні P(min)=0 та P(max)=2·КП=976 W, відповідно. В цій моделі ми розглядаємо таку посадку, в якій велосипедист тримається за верхівки дуалів. Комбінація фронтальної зони та коефіцієнту аеродинамічного опору дорівнює A=0,56 m [14] та C(D)=0,64 [15] відповідно, використовуючи закони масштабування Хейла. Коефіцієнт аеродинамічного опору будемо вважати постійним з деякими варіаціями, опираючись на роботу Чоудхьюрі [16]. Щільність повітря буде 1,2041 kg·m^(-3) при температурі сухого повітря 20°C та атмосферному тиску 101,325 kPa. Прискорення вільного падіння Землі складає g=9,81 m·s^(2). Опір коченню шин розраховано як C(RR)=0,042, беручи за основу роботу Граппе [17]; тиск в покришках дорівнює 900 kPa. Коефіцієнти для тертя кульок підшипників у втулках дорівнюють b(1)=0,089 та b(2)=0,084, вважаємо втулки добре змащеними [10]. Момент інерції та зростаючий аеродинамічний опір спиць колеса дорівнює I(w) = 0,14 kg·m^2 та A(w)=0,044 m^2 відповідно [9], радіус колеса дорівнює r=0,037 m. Повна маса системи спортсмен-велосипед є m(tot)=83,9 kg та повна інерція — m(s)=85,1 kg. Щоб імітувати старт з ходу, нульове значення було встановлено на рівні v(0)=10 m·s. Всі змінні в підрахунку дали результат P(j)=КП=488 W.
3. Числові результати
Для кожного профілю траси ми зробили 30 спроб. Фінішні часи склали T(СП)=171,1 секунд, T(ДГ)=156,9 секунд, та T(ЧГ)=151,9 секунд та ДАП, що залишилась наприкінці, склала 0,041%, 0,41% та 0,22% від АП відповідно. Оптимізовані темпові стратегії та розподіл потужності можна подивитись на малюнку №2. Як ви очікуєте, оптимізація намагається зрівняти швидкість, змінюючи вихідну потужність відповідно до нахилу траси.
Оптимізація до профілю СП показала майже ніякого відновлення ДАП. Можна побачити, що на всіх трьох трасах є точка, де ДАП майже дорівнює нулю (без відновлення) та з'являється на вершині останнього пагорба. Таким чином, відрізок дистанції рівного використання потужності виявився довшим для СП, ніж для ДГ та довшим для ДГ, ніж для ЧГ. Ці невикористані анаеробні ресурси спричинили велику різницю в швидкості. Відмінності в швидкості склали 6,54%, 1,18% та 0,84% для СП, ДГ та ЧГ відповідно. Вони спричинені аеродинамічним опором на квадрат швидкості.
Старт був однаковим для всіх спроб, якщо звернути увагу на криву вихідної потужності. Проте, величини дуже різні та вихідна потужність на початку спроби мала тенденцію збільшуватись на спуску першого пагорба. Також можна побачити, що вихідна потужність на підйомах була вищою для коротких підйомів. Порівняно з рівномірними розподілами потужності, варіативна оптимізація дала приріст 3%, 5% та 2,3% для СП, ДГ та ЧГ відповідно. Хоча є деякі розбіжності, такий приріст можна вважати значним для змагань на високому рівні.
4. Висновки
Результати цього дослідження показали, що траси з тим же набором висоти, але різною кількістю підйомів потребують різні темпові стратегії. Результати також підтверджуються іншими дослідженнями цієї теми [2, 18, 19], що значний приріст швидкості може бути досягнутий, якщо змінювати стратегію відповідно до змін зовнішніх чинників під час гонки. Для того, щоб ще точніше підрахувати обмеження вихідної потужності, необхідно розробити ще більш комплексну та реалістичну модель. Двокомпонентна модель P-ДАП доволі точна, але не враховує швидкі або повільні компоненти кінетики VO2.
[spoilerлітература][1] Gordon, S. Optimising distribution of power during a cycling time trial. Sports eng 2005;8:81-90.
[2] Cangley, P, Passfield, L, Carter, H,Bailey, M. The effect of variable gradients on pacing in cycling time-trials. Int J Sports
Med 2011;32:132-6.
[3] Dahmen, T. Optimization of pacing strategies for cycling time trials using a smooth 6-parameter endurance model. PreOlympic
Congress on Sports Science and Computer Science in Sport (IACSS2012): IACSS Press, 2012.
[4] Maronski, R. On optimal velocity during cycling. J Biomech 1994;27:205-13.
[5] Fehlberg, E. Low-order classical runge-kutta formulas with stepsize control and their application to some heat transfer
problems. NASA technical report. Marshall, Alabama: National aeronautics and space administration, 1969.
[6] Svanberg, K. The method of moving asymptotes - a new method for structural optimization. Int J Numer Meth Eng
1987;24:359-73.
[7] Svanberg, K. The method of moving asymptotes (MMA) with some extensions. Optimization of Large Structural Systems,
Vols 1 1993;231:555-66.
[8] Sundström, D, Carlsson, P, Ståhl, F,Tinnsten, M. Numerical optimization of pacing strategy in cross-country skiing. Struct
Multidisc Optim 2012:1-8.
[9] Martin, JC, Milliken, DL, Cobb, JE, McFadden, KL,Coggan, AR. Validation of a mathematical model for road cycling
power. J Appl Biomech 1998;14:276-91.
[10] Dahn, K, Mai, L, Poland, J,Jenkins, C. Frictional resistance in bicycle wheel bearings. Cycling Science 1991;3:28-32.
[11] Morton, RH,Billat, LV. The critical power model for intermittent exercise. Eur J Appl Physiol 2004;91:303-7.
[12] Hill, DW,Smith, JC. A comparison of methods of estimating anaerobic work capacity. Ergonomics 1993;36:1495-500.
[13] Lucia, A, Juan, AFS, Montilla, M, Canete, S, Santalla, A, Earnest, C,Perez, M. In professional road cyclists, low pedaling
cadences are less efficient. Med Sci Sport Exer 2004;36:1048-54.
[14] Heil, DP. Body mass scaling of frontal area in competitive cyclists not using aero-handlebars. Eur J Appl Physiol
2002;87:520-8.
[15] Heil, DP. Body mass scaling of projected frontal area in competitive cyclists. Eur J Appl Physiol 2001;85:358-66.
[16] Chowdhury, H, Alam, F,Mainwaring, D. A full scale bicycle aerodynamics testing methodology. Procedia Engineer
2011;13:94-9.
[17] Grappe, F, Candau, R, Barbier, B, Hoffman, MD, Belli, A,Rouillon, JD. Influence of tyre pressure and vertical load on
coefficient of rolling resistance and simulated cycling performance. Ergonomics 1999;42:1361-71.
[18] Atkinson, G, Peacock, O,Passfield, L. Variable versus constant power strategies during cycling time-trials: Prediction of
time savings using an up-to-date mathematical model. J Sport Sci 2007;25:1001-9.
[19] Swain, DP. A model for optimizing cycling performance by varying power on hills and in wind. Med Sci Sport Exer
1997;29:1104-8.[/spoiler]
